DERIVATION OF AREA AND CIRCUMFERENCE OF CIRCLE USING CALCULUS

CIRCLE

DERIVATION OF AREA OF CIRCLE





LETS TAKE d๐žก , A  VERY SMALL ANGLE IN ABOVE FIGURE
SO; THE SMALL PART OF CIRCLE IN DIAGRAM 
CAN BE CONSIDERED AS RIGHT ANGLED TRIANGLE



FROM ABOVE FIGURE, tan d๐žก= opposite side/ adjacent side
                                                    tan d๐žก   = ds/r
AS ANGLE IS VERY SMALL, tan d๐žก = d๐žก 
SO,                                               d๐žก =ds/r
SO,                                                ds=r d๐žก ..................(1)

                                                    
AREA OF TRIANGLE= 1/2 * BASE *HEIGHT
                                      = 1/2 * r * ds
                                   D(A)   = 1/2 * r *r d๐žก.............      FROM   (1)
IF WE INTEGRATE THESE SMALL TRIANGLES HAVING THIS AREA, WE WILL GET
AREA OF CIRCLE
                                   

           SO     AREA OF CIRCLE= ∫D(A)
                                                           2๐œ‹
                                                      =  ∫    1/2* r * r d๐žก.   [AS d๐žก IS FROM 0 TO  2๐œ‹ ]
                                                         0
[AS 2๐œ‹  REPRESENTS ANGLE OF ENTIRE CIRCLE]                                                         

                                                          2๐œ‹              2
                                              =            ∫ (1/2)   r       d๐žก.
                                                         0       
                                           


                                                           2     2๐œ‹
                                           =(1/2 )* r      * ∫        d๐žก
                                                                0

                                              2            
                                    =   [   r       /   2   ] * 2๐œ‹
 
                                            2
                                    = ๐œ‹ r

                                                                                                                                                                                                            

SO, AREA OF CIRCLE IS  ๐œซR*R



CIRCUMFERENCE OF CIRCLE

AS WE KNOW, ds=r d๐žก ............from 1


SO; CIRCUMFERENCE OF CIRCLE CAN BE OBTAINED BY ADDING ALL THESE LENGTHS
I.E  INTEGRATING ds


                           SO   C= ∫ ds

                                             2๐ฅ
                                   C =  ∫          r d๐žก
                                          0

                                                2๐ฅ
                                   C = r    ∫        d๐žก
                                             0


                                   C=  r  *    2๐ฅ
                                   

                                    C= 2๐ฅr





SO, CIRCUMFERENCE OF CIRCLE IS 2๐ฅR






















































































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                                                                 DIFFERENTIATION  THE TRIANGLE FORMED ON TOP IS               tanฮธ= dy/dx..............from above figure              as slope is tanฮธ is slope(say m);              so  m= dy/dx.              as dy = F(X+dx) - F(X);      FROM FIRST FIGURE.              SO     m= F(X+dx)-F(X)/dx               now, dx is very small;               let dx=h;             dy/dx=   lim   F(X+h)-F(X)   /   h  ....................1.                          h->0                                                           SOME EXAMPLES  1. F(X)=Y=SINX.     FIND dy/dx? ANS.     F(X)= SINX  =>  F(X+h) = SIN(X+h)    AS   dy/dx =  lim F(X+h)-F(X)  /  h  ....................from 1.                         h->0      dy/dx  = lim  SIN(X+h)- SIN(X)  / h                     h->0       dy/dx =lim  (SINX COSh + COSX SINh) - SINX     /     h                    h->0       dy/dx = lim     (SINX COSh + COSX SINh - SINX)  / h                    h->
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