DERIVATION OF AREA AND CIRCUMFERENCE OF CIRCLE USING CALCULUS

CIRCLE

DERIVATION OF AREA OF CIRCLE

LETS TAKE d𝞡 , A  VERY SMALL ANGLE IN ABOVE FIGURE

SO; THE SMALL PART OF CIRCLE IN DIAGRAM 

CAN BE CONSIDERED AS RIGHT ANGLED TRIANGLE

FROM ABOVE FIGURE, tan d𝞡= opposite side/ adjacent side

                                                    tan d𝞡   = ds/r

AS ANGLE IS VERY SMALL, tan d𝞡 = d𝞡 

SO,                                               d𝞡 =ds/r

SO,                                                ds=r d𝞡 ..................(1)

                                                    
AREA OF TRIANGLE= 1/2 * BASE *HEIGHT

                                      = 1/2 * r * ds

                                   D(A)   = 1/2 * r *r d𝞡.............      FROM   (1)

IF WE INTEGRATE THESE SMALL TRIANGLES HAVING THIS AREA, WE WILL GET

AREA OF CIRCLE

                                   

           SO     AREA OF CIRCLE= ∫D(A)

                                                           2𝜋

                                                      =  ∫    1/2* r * r d𝞡.   [AS d𝞡 IS FROM 0 TO  2𝜋 ]

                                                         0

[AS 2𝜋  REPRESENTS ANGLE OF ENTIRE CIRCLE]                                                         

                                                          2𝜋              2

                                              =            ∫ (1/2)   r       d𝞡.

                                                         0       

                                           

                                                           2     2𝜋

                                           =(1/2 )* r      * ∫        d𝞡

                                                                0

                                              2            

                                    =   [   r       /   2   ] * 2𝜋

 

                                            2

                                    = 𝜋 r

                                                                                                                                                                                                            

SO, AREA OF CIRCLE IS  𝜫R*R

CIRCUMFERENCE OF CIRCLE

AS WE KNOW, ds=r d𝞡 ............from 1

SO; CIRCUMFERENCE OF CIRCLE CAN BE OBTAINED BY ADDING ALL THESE LENGTHS

I.E  INTEGRATING ds

                           SO   C= ∫ ds

                                             2𝝥

                                   C =  ∫          r d𝞡

                                          0

                                                2𝝥

                                   C = r    ∫        d𝞡

                                             0

                                   C=  r  *    2𝝥

                                   

                                    C= 2𝝥r

SO, CIRCUMFERENCE OF CIRCLE IS 2𝝥R