L'HOSPITAL'S RULE (WITH EXAMPLES)

                               L'HOSPITAL'S

                                                                RULE


IF  Lim  F(X)/G(X) = 0/0 ;
      X->a
THEN   Lim F(X)/G(X)  =  Lim F'(X)/G'(X)
               X->a                         X->a


PROBLEMS BASED ON ABOVE RULE:

                                 _
1. Lim   sin(1-x)/√x - 1 = ?
   x->1

ANSWER:

IF WE PUT x=1; WE GET  ...........  sin(1-x)
                                                               = sin(1-1)
                                                                =sin(0)
                                                _              =0
               AND ..................√x - 1
                                             =1-1
                                              =0

SO,                      _
          sin(1-x)/√x - 1 = 0/o
SO APPLY L'HOSPITAL'S RULE;


                              _                                                                  _
 Lim   sin(1-x)/√x - 1 =  Lim  d/dx( sin(1-x)) /  d/dx( √x - 1 )
 x->1                                  x->1
                                                                                          _
                              =         Lim  cos(1-x). (-1)  /   1/2√x  
                                         x->1
IF WE PUT    x=1;     cos(1-x)_=cos(1-1)=cos0=1.
                                       and   √x   =  √1 =1.
                                        
                               =       -1 /  (1/2)

                               =       -2
                                                    _
             so;    Lim   sin(1-x)/√x - 1  = -2
                      x->1




2.  Lim   sin(5x) / ln(1+4x)=?
      x->0


ANS:     If we put x=0

                sin(5x)=sin(5 . 0)=sin0=0
                ln(1+4x)=ln(1+ 4 . 0)= ln(1 + 0)=ln(1)=0

             SO;   Lim   sin(5x) / ln(1+4x)=0/0
                       x->0


           HENCE WE SHOULD APPLY L'HOSPITAL'S RULE:
          
                            Lim   sin(5x) / ln(1+4x)=Lim  d/dx( sin5x)  /  d/dx(  ln(1+4x) )
                            X->0                                    x->0

                                                                       =Lim  (cos5x). 5 /  (4/1+4x)
                                                                          x->0
                              IF WE PUT   x=0 
                                                                       =    cos(5.0).5 / (4/1+0)
                                                                       =    cos0  .  5 /4
                                                                       =     5/4


           HENCE;                  Lim   sin(5x) / ln(1+4x)  =   5/4.
                                             X->0           
                                                                        







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